如果让你重新开始学数学，你的学习路线会怎么选择?
1. 高中数学
高中的数学基本上你按着教材来学就够了，而且大家的教材也都大同小异。
集合论的基本语言，比如集合，元素，子集，集合的几个运算，交并补等等。
初等函数的基本认识，极值最值的求解，不等式，立体几何对空间的想象力培养，初等组合数学等等。
这些课程实际上是大学或者更高阶数学里面的很多个不同课程，或者说多个不同数学分支里的，初等内容，引导内容。
可以说是很不系统的，比如讲到函数的最值求解，就是最典型的，在高中我们只能将某一些特定类型的函数的求解，至于更一般的函数的最值就无能为力了，方程的根，也是如此，只会让你求一元一次，二次和某些特定三次方程的根，至于更一般的就不管了。
为什么会这样呢？
这跟我们的认知规律有关，在未成年阶段，人的心智和时间精力所限，不适合也不太应该向所有人普及非常专业和高深的数学内容。
一个最简单的理由，你让那些长大后不想搞数学研究的人怎么活？人有自由选择专业的权利。
有人抱怨高中数学的教育方式，但目前来说，这样的方式是比较经济和合适的。
当然，也可以学习其它国家，对课程按难度和深度分级，比如所有人都必须的是A级，对于这个级别完成得很好的，可以申请学更难的B级，比如设立微积分课程，再往上C级，比如抽象代数的内容，等等等等。
这其实是一个值得学习的方式，但不一定适合中国，或者说具体怎么开展，交给相关
教育部门去头疼。
2. 大学数学
接下来，我讲讲大学数学的学习路径，给出课程和教材，以更好的自学为主要目标。
I. 数学入门
课程：数学分析与高等代数
数学分析主要讲微积分和函数，而高等代数讲矩阵，处理高维或者多元问题。
这两门课成了现在的机器学习（人工智能）的基础柱石。
粗略地讲，目前的机器学习的思路，依然是将现实问题抽象转化为一个数学问题的极值问题，因为现实是复杂的，必然是多元也即是高维的问题-线性代数，既然求极值必然要求导（导数为零的地方是极值），而且是多元求导，这就是多元微积分的内容。
对于从中学数学到高阶数学的过渡，最基础也是最重要的是两门课程: 数学分析与高等代数
非数学系的叫它们高等数学和线性代数。
这两门课前者主题是微积分，处理函数的性质与各种度量，后者是矩阵，处理高维的世界。
这两门课在全世界的大学都教，而且从数学素材的角度来说都大同小异。
在中国，数学系和非数学系的内容差别很大，主要体现在教材和授课方式上。
前者要求严格，注重数学思想，后者只是注重计算和应用。
在某国经过几十年的大学数学教育改革后，在这方面做得很好，尤其是数学分析课。
他们的做法更倾向于将课程设置为I, II, III 这样，比如数学分析，
所有专业都学Calculus I, 然后感兴趣的和数学系的学 Calculus II，Calculus III.
这样做的一个直接结果就是广大理工科或金融等非数学系的数学基础很好，而且也很容易往高阶发展。
因此中国的大学毕业生跟美国相比，不说整体水平，我们说各自水平的波动程度，
中国的要大很多。
即我们的学生好的很好，差的很差，而美国的数学系与非数学系的数学水平差别没那么大。
教材
这两个课教材非常丰富，有大量的优秀教材。
数学分析
1.首推华东师范大学数学系编的；
2.国外的可以看MIT教授Gilbert Strang写的Calculus，
推荐的主要理由是作者教学经验丰富而且视频和电子教材都很容易获得，详见MIT的公开课官网
Textbook | Calculus Online Textbook | MIT OpenCourseWare
以及「科学上网」去YOUTUBE看。
高等代数
这门课教材的差别相对较小一些。
1. 丘维声，高等代数，网上也有视频资源；
2. 郭聿琦等，线性代数导引；
3. Gilbert Strang, linear algebra, 就是上面那个MIT教授，视频资料也很丰富。
II. 数学之美
数学之美，是建立在数学能力基础之上的。你只有学好了线性代数和数学分析这两门课的内容，你才能感受到更高阶的美。
典型代表就是下面两门课。
课程：点集拓扑与抽象代数
如果要感受数学之美，要求就更高一点，对于本科生而言，如果每个数学课程都能认真思考，不断问下去，你都会发现数学之美。
但是有两门课程能很突出的体现数学之美，因此我单独讲一下: 点集拓扑与抽象代数。
这两门课最大的共同点就是：公理化。
整个课只从最基本的几条公理出发就生长出了整本书！
因此是本科数学中最能反映数学之美的逻辑深度的课程。
教材
1. 点集拓扑讲义，熊金城；
2. 代数学引论，丁石孙等；
2. 近世代数，杨子胥，这本书胜在素材安排合理，通俗易懂；
4. algebra, S.Lang;
5. Topology, James Munkres;
III. 数学之用
课程：数学分析，高等代数，微分方程，偏微分方程，概率与统计，随机过程，随机微分方程等
数学是完美的，在逻辑上正确的东西就不需要其它的东西来验证或者佐证它。
而现实世界就不同了，连最接近数学的物理也是需要实验的。
数学之路就是最有可能的翻身之路，其它的都需要别人或者资源的支持。
数学分析主要讲微积分和函数，而高等代数讲矩阵，处理高维或者多元问题。
因此几乎任何一个严肃的现实问题都会用到这两门课的基础知识，
比如现在很热门的人工智能的一个主要工具是深度学习，它的基础就是矩阵和求导。
因此任何一本深度学习的书，都要花很大篇幅讲线性代数和多元求导。
接下来，在现实世界中非常有用的是微分方程，偏微分方程等分析类课程，比如我们的航空航天或者造原子弹这种高大上事业，其中很重要的一部分就是力学的数学模型研究，很多东西最终都归结为一大堆偏微分方程。
另一大方面体现数学的应用的是，跟概率有关的东西。
起源于赌博的概率论，在上世纪完成公理化后已经走得非常远了。
随机本身是一件很不好理解的事情，概率论的公理化本身就是数学之美与数学之用的最典型最完美的例子之一。
比如，在正整数上均等的随意选一个数的概率是多少？你自认为随意一问的东西，实际上包含的内容是很深刻的，这个问题相信绝大多数人都会答错！
又比如随手画线段，其长度最有可能是有理数还是无理数？
随手画线段，其长度最有可能是有理数还是无理数？最典型的应用就是在金融市场上的应用，比如期权的black-scholes定价公式等用到了
随机微分方程。
至于这些课的教材，因为实在太多了，只能具体情况具体分析了。
而且他们都是高阶课程，一旦你走到那里的时候，我想你自己心中也许就已经有答案了。
其实，以上这些课几乎就涵盖了数学系本科的大多数了。
想买教材直接上手学习的，详见下列图片，链接在另一个文章中：
温欣提市：对一个准大学生，想学数学有什么好的教材推荐呢？|大学数学自学教材系列1第一类：基础-数学分析与高等代数
第二类：高阶-数学之美
杨子胥的近世代数，强烈推荐，内容简单，还有习题集答案，非常适合自学。
代数学必备经典，一本很厚很好的工具书，algebra， S.Lang，常常要翻。
详见我的文章：
温欣提市：对一个准大学生，想学数学有什么好的教材推荐呢？|大学数学自学教材系列1
双手击掌之声人尽皆知，
单手击掌之声又如何呢？