几乎所有物理常数都是无理数，为什么光速299792458m/s是个整数？这一数字有误差吗?

发布时间：

2024-04-18 08:49

阅读量：

好像没有人提到新国际单位制(SI)定义量纲的逻辑顺序？

2019年之后的国际单位制逻辑链:

图中符号解释如下:

1s是铯原子基态超精细跃迁发出光子对应振荡周期的9192631770倍；
1m是光在真空中花1s走过距离的299792458分之一；
1kg是普朗克常数乘以1s除以m²的6.62607015×10⁻³⁴分之一；
1A是元电荷除以1s的1.602176634×10⁻¹⁹分之一；
1mol物质包含6.02214076×10²³个实体：
1K⁻¹是玻尔兹曼常数乘以1s²/kg·m²的1.380649×10⁻²³分之一；
1cd是发光效能常数Kcd乘以1W除以1球面度的683分之一.

1983年到2019年的国际单位制逻辑链:

可以在两图间进行比较。其中：

1kg=M_IPK, M_IPK是国际千克原器的质量(Mass of the International Prototype of the Kilogram), 即重量1千克的铂铱合金^[1];
1K=T_TPW/273.16, T_TPW是水的三相点温度(Temperature of the Triple Point of Water);
1 mol=12g碳12的原子数；
1A是相距1米的两条平行导线间产生每米0.2微牛顿的磁力所需的电流；
1m, 1s, 1cd的定义方式保持不变。

可以看出，2019年的国际计量大会直接革新了我们对于单位制定义的思路：

以往都是从实际概念出发，现在逐渐转向从基本常数出发；

这是为了保证定义的清晰性和明确性，避免出现像"国际千克原器发生微小质量浮动"导致定义不明的问题。

国际单位制是否是循环定义?

曾经有个学长问了我一串问题，大意是"国际单位制是否是循环定义? "

但是综上所述没有，因为无论如何我们都可以一个一个"数出"铯原子振荡的次数，以及和单位制无关的元电荷、光速、玻尔兹曼常数、普朗克常数、发光效能常数。

由此可见，自然科学很独特的地方就是它是客观的、独立于人的定义的；

这是自然科学区别于逻辑科学和人文科学的根本所在。

附录

附: 关于国际计量大会

国际计量大会(General Conference on Weights and Measures, 又译"国际度量衡大会")于1875年根据米制公约条款成立，成员国根据该条款在测量科学和测量标准有关的事项上共同采取行动。

如今国际计量大会每四年召开一次例会，上次会议于2022年11月召开于法国凡尔赛。在1960年，第11届国际计量大会批准了国际单位制(International System of Units)，即通称的“ SI”.

2018年的第26届国际计量大会，人们用普朗克常数, 元电荷, 玻尔兹曼常数, 阿伏伽德罗常数重新定义了质量, 电流, 温度, 和物质的量。

附: 单位的起源

虽然新国际单位制的定义方式都依赖于基本物理常数，但是为什么这些定义前面都有一些奇怪的系数？

原因是为了和历史上人们定义这些单位的朴素方式符合，而这些朴素定义都有着特定的历史渊源。

这些渊源可以在维基词条"SI base unit" 找到，例如:

1s是: ^[2]

一太阳日的(24x60x60)分之一；

(16世纪后半叶—1956)

一太阳年的31556925.9747分之一；

(1956—1967)

1m是：^[2]

经过巴黎的子午线上赤道到北极距离的一千万分之一；

(1795法国大革命)

国际米原器的长度；

(1799—1960)

氪-86某一发射线的波长的整数倍；

(1960—1989)

1kg是：^[2]

融冰温度下一立方分米的水的质量；

(1795法国大革命)

国际千克原器的质量；

(1889第一届国际计量大会 —— 2019)

1A是: ^[3]

1Ω电阻通上1V电压所产生的电流。这相当于1绝对安培的十分之一，1绝对安倍是半径为1厘米的单匝环形线圈对圆心形成2π奥斯特磁场的电流强度；

(1881第一届国际电学会议)

硝酸银溶液中每秒沉积1.118毫克银所需的电流，这也是最初的国际安培；

(1893第四届国际电学会议)

相距1米的两条平行导线间产生每米0.2微牛顿的磁力所需的电流；

(1948国际计量大会)

通过安培定义库伦后，1A是1秒内通过横截面的电荷量为1库仑的电流强度.

(2005—2018国际计量大会，2019年生效)

1mol ^[2]物质是使得1mol氢原子或1mol碳原子的1/12具有1g质量的粒子数，即原子量或分子量除以摩尔质量常数； (19世纪—2019)

1K 等于1℃, 后者是一标准大气压下水的冰点到沸点的1/100； (1848年开尔文)

1cd^[2]是：

标准蜡烛^[4]燃烧发出的光，基本等价于1W功率的白炽灯发出的光；

(1967年前)

处于标准大气压和铂冰点的1/600000平方米黑体辐射的流明强度；

(1967——1979)^[5]

发射频率为540 × 10^12赫兹的单色辐射源具有1/683瓦每球面角的辐射功率的辐射强度。

(1979——2019)

这等价于光在球面上具有4π流明的光通量。

附: 为什么mol可以当做一个独立的单位?

评论区的 @Cosmon 同学问了这样一个问题：

关于单位制，为什么我们把物质的量作为一个物理量？
在小学课堂上老师告诉我们，1个东西就是1，是数量不是单位量。
类似我们可以规定1打=12个，1组=64个，那么为什么1mol=6.02×10^23个成为了一个"单位"而不是"数量"呢?

或者说，看起来无端的"单位增加"和"单位减少"是出于什么动机呢？

为此，我们可以先回顾一下物理学家使用的自然单位制是如何简化单位制的：

如上一条所述，自然单位制一般用于相对论物理学的场景，此时空间和时间的地位是等同的；因此我们可以指定"空间单位" $1m$ 和"时间单位" $1s$ 实际上指的是"相同的东西"，而 $m$ 和 $s$ 的大小又是人为任意规定的，因此我们可以任意制定它们之间的倍数关系:

$1s=299792458m\ \Longrightarrow c=1\\$ 此时光速等于1，相当于"在单位时间内，光运动了单位距离"，这对于相对论性的计算是有益的。

类似的，我们也可以认为"1mol"和"1个"是一样的单位，只相差了一个倍数:

另一方面，我们也可以(在价值观上)认为1mol和1个是完全不同的两个单位，前者衡量宏观数量，后者衡量微观数量；阿伏伽德罗常数 $N_A$ 沟通了二者的联系.

而"物质的量"在自然科学研究中已经成为了一个约定俗成的衡量宏观物质数的概念，所以我认为国际计量大会出于计量的简便性将其纳入基本单位制当中是完全可以接受的。

附: 自然单位制

除了物质的量以外，国际单位制中具有6个量纲，因此可以通过设定五个无量纲化的方程来将量纲数减少到一个：

$\hbar=\frac{h}{2\pi}=1\ \Longrightarrow \ 1.054571800 \times 10^{-34}{\rm \frac{kg\cdot m^2}{s}}=1\\$ $c=1\ \Longrightarrow \ 299792458{\rm \frac{m}{s}}=1\\$ $k_B=1\ \Longrightarrow \ 1.380649 \times 10^{-23} {\rm \frac{kg\cdot m^2}{ \mathrm{s}^{2} \cdot\mathrm{K} }}=1\\$ 这三个无量纲化统一了长度、时间、质量、温度的量纲。另外是电磁学的量纲，这有两种选择：

相比于国际单位制，自然单位制的好处与弊端^[2]：

1. 简化方程: 通过规定基础物理常数为 1 ，含有这些常数的方程会更加简洁，物理意义更清晰。例如，在狭义相对论里，能量与动量的关系式 $E^2=p^2 c^2+m^2 c^4$ 相当冗长，而 $E^2=p^2+m^2$ 显得简单多了。
2. 物理诠释: 自然单位制已经自动具备了量纲分析功能。例如，在普朗克单位制的定义中，已经囊括了量子力学和广义相对论的一些性质。大约在普朗克长度的尺度，量子引力效应绝非凑巧地会开始变得重要。同样地，在设计原子单位制时，已经考虑到电子的质量与电量。因此，描述氢原子电子轨域的玻尔半径理所当然地成为原子单位制的长度单位。
3. 不需原器： “原器" (prototype) 是用来定义单位的真实物体，例如国际干克原器是一块存放于法国国际计量局的铂铱合金圆柱体，其质量定义为1公斤。依赖原器有很多缺点: 不可能实际克隆出完全一样的原器，真实物体会遭受腐蚀损坏，核对质量必需亲自到法国跑一趟。自然单位制不需要参照到原器，自然就不会被这些缺点拖累。不过，2019年的新版国际单位制已经不需要原器了，改成使用精确的普朗克常数代替国际公斤原器定义公斤。
4. 计量精密度较低：当初设计国际单位制时，一个主要目标是能够适用于精密测量。例如，跃迁频率可以用原子钟科技来精密克隆，而时间单位"秒"正是使用铯原子的原子跃迁频率来定义。自然单位制通常不是基于可以在实验室精密克隆的物理量，但光速可以精密实现。所以，自然单位制的基本单位所具有的精密位数会低于国际单位制。例如，普朗克单位制所使用的万有引力常数 $G$ ，在实验室里只能测量至 4 个有效数字。
5. 意义过于笼统: 设想采用普朗克单位制的方程 $a=10^{10}$ 。假若 $a$ 代表长度，则这方程的含意是 $a=1.6 \times 10^{-25} \mathrm{~m}$ ；可是假若 $a$ 代表质量，则这方程的含意是 $a=220 \mathrm{~kg}$ 。(因此最好要写 $a=10^{10} l_P$ 或者 $a=10^{10} m_P$ 之类的) 所以，假若变量 $a$ 缺乏明确定义，则这方程很有可能被误解。然而在国际单位制，对于方程 $a=10^{10}$ ，假若 $a$ 代表长度，则这方程的含意是 $a=10^{10} \mathrm{~m}$ ；假若 $a$ 代表质量，则这方程的含意是 $a=10^{10} \mathrm{~kg}$ 。
不过，物理学者有时候会故意利用这种笼统性质。例如，在狭义相对论里，时间与空间的关系非常密切；假如能不区分某变量所代表的是时间量还是空间量，使用同一类变量就可以一起代表时间与空间，这会带给理论学者很大的便利。